2015最新初中数学三角函数半角公式

本文将介绍在2015年最新的初中数学中，三角函数半角公式的应用。该公式可以帮助学生快速地计算三角函数值，尤其在计算复合函数的值时非常实用。本文将从定义及应用、化简、举例说明、与双角公式的关系、解析式的证明等五个方面进行详细阐述。

定义及应用

三角函数半角公式是一种将角度一半的三角函数表达式的化简公式，适用于各种三角函数的计算。其表达式如下所示：

$$\sin\frac{\alpha}{2}=\begin{cases}+\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},&\alpha\in\left[0,\pi\right] \\- \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},&\alpha\in\left[\pi,2\pi\right] \end{cases}$$

在计算复合函数的值、求复杂的三角函数解析式以及数学竞赛中，三角函数半角公式是非常实用的公式，可以帮助学生快速地计算三角函数的值。

化简

三角函数半角公式的推导过程比较繁琐，但我们可以通过泰勒公式进行化简，推导出它的形式。具体过程如下：

$$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}=\frac{1-\sqrt{1-\sin^2\alpha}}{2}=\frac{\sin^2\frac{\alpha}{2}}{1+\sqrt{1-\sin^2\alpha}}$$

由此可得：

$$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$$

其中，符号“$+$”用于表示$\alpha\in\left[0,\pi\right]$，符号“$-$”用于表示$\alpha\in\left[\pi,2\pi\right]$。由于方程右边为正，因此符号“$-$”对应的解法要舍去，最终的表达式如上所示。

举例说明

我们现在来使用三角函数半角公式计算一个例子。

$$\cos\frac{\pi}{8}=?\ $$

我们可以将$\pi/4$的值代入三角函数半角公式，即：

$$\begin{aligned}&\cos\frac{\pi}{8}=\sqrt{\frac{1+\cos\frac{\pi}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}} \\&=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=(\sqrt{2}-1)\sqrt{2}-2 \end{aligned}$$

因此，$\cos\frac{\pi}{8}=(\sqrt{2}-1)\sqrt{2}-2$。

与双角公式的关系

在学习三角函数半角公式之前，我们通常会学习乘积公式和双角公式，而这些公式与三角函数半角公式存在着一定的关系。

对于$\cos\frac{\alpha}{2}$，我们有如下的关系式：

$$\cos \alpha=2\cos^2\frac{\alpha}{2}-1=\frac{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}$$

进一步地，我们又可以利用三角函数半角公式得到：

$$\begin{aligned}&\cos \alpha=2\cos^2\frac{\alpha}{2}-1=2\frac{1-\sin^2\frac{\alpha}{2}}{1+\sin^2\frac{\alpha}{2}}-1 \\&=\frac{1-\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}-\frac{\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\cos^2\frac{\alpha}{2}} \\&=\tan^2\frac{\alpha}{2}+1-\frac{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}=\tan^2\frac{\alpha}{2}+1-\frac{2\tan^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}} \\&=\frac{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}} \end{aligned}$$

因此，我们可以得到以下的式子：

$$\tan\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}$$

这个式子可以用于计算三角函数值，特别适用于计算复合函数的值。

解析式的证明

三角函数半角公式的解析式证明非常繁琐，我们在此只给出总结：

$$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$$

其中，符号“$+$”用于表示$\alpha\in\left[0,\pi\right]$，符号“$-$”用于表示$\alpha\in\left[\pi,2\pi\right]$。

具体的证明过程可以在数学专业书籍中查阅。

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