可导和可微的关系 可微与可导的什么条件

可微与可导的条件：前者必定包含后者，即可导意味着可微。微分的定义是在点$x_0$处，若函数$f(x)$存在极限$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$，则称$f(x)$在点$x_0$处可导。可微的定义是在点$x_0$处，若函数$f(x)$在$x_0$的邻域内有Taylor公式展开式$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x - x_0)$，则称$f(x)$在点$x_0$处可微。

从前述定义中可以看出可导意味着函数在该点周围的斜率存在，而可微则意味着函数在该点周围的一阶导数存在。因此，在可微的情况下，也一定可导。但可微的条件比可导要苛刻一些。

首先，可微一定需要连续。因为在点$x_0$处展开Taylor公式需要用到$f(x)$在$x_0$的邻域内的值。若$f(x)$在$x_0$处不连续，则它们之间取不出足够多的点，使得能够展开幂级数。其次，可微需要一致连续。即对任意$\epsilon>0$，存在$\delta>0$，使得当$|x-x_0|<\delta$时，$|f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)|<\epsilon |x-x_0|$。这是由于$x$和$x_0$的距离越小，$\epsilon$的值就需要越小。

根据前述定义，可导的条件比可微要宽松一些。函数$f(x)$在点$x_0$处可导，当且仅当$f(x)$在点$x_0$处有一个有限的方向导数。由此，函数在该点周围的斜率也存在。但可导并不意味着函数在该点周围的一阶导数存在。因此，在可导的情况下，也不一定可微。

从上述分析中可以看出，可微与可导的条件有所不同。可微对函数连续性和一致连续性要求较高，而可导只需有有限的方向导数。因此，在实际计算中，判断某个函数是否可微或可导要结合具体的函数特点来分析。同时，根据定义，可微的函数一定可导，因此在实际计算时，通常只需要判断函数是否可微即可。

接下来以一些例子来说明可微和可导的关系。首先考虑$x \mapsto |x|$这个函数。在$x=0$处，该函数不可微。因为无论如何展开Taylor公式，所得结果都会包含$x$的二次项，即使它的极限值在该点存在。但它在$x<0$和$x>0$处可导。而$x \mapsto \sqrt[3]{x}$在$x=0$处既可微又可导，因为它在整个实轴上都是可导函数。

再来考虑一下$x \mapsto |x|^3$这个函数。在$x=0$处它既可微又可导。因为它在$x<0$和$x>0$处的导数都为$3x^2$。但$x \mapsto |x|^{1/3}$这个函数在$x=0$处可导但不可微，因为它在$x=0$处的方向导数不存在。

到这里，我们不难看出，可微的条件要比可导的条件苛刻一些。因此，在实际计算时，如果想直接判断函数可微或可导，有时候可能会比较困难。为此，一些经典的判断方法应运而生。例如，如果一个函数在某个区间内它的导数存在且有界，那么它就是可微的。此外，如果一个函数在某个区间内连续且拥有可导的导函数，那么它就是可微的。另外还有一些复杂的方法，如弱一致微分的判别法等。

综上所述，可微和可导的关系是可导包含可微。其中，可微对连续性和一致连续性的要求要高于可导。在实际计算中，可以按照具体的题目特点来灵活切换。如果想判断某个函数是否可微或可导，可以运用一些经典的判断方法。

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