2015中考数学复习重点菱形的判定定理

菱形，作为一种形状，经常出现在我们的日常生活中，比如棋盘、红绿灯、跑道等地方。而在数学中，菱形也是一个非常重要的几何概念之一。本文将围绕菱形的判定定理展开讲解，希望读者能在学习中掌握相关技巧，提高数学水平。

一、什么是菱形

首先，我们需要明确，什么样的图形才可以称之为菱形。从几何上来说，菱形是一个四边形，且四个边长相等的图形。同时，菱形也是一个平行四边形，具有两组相邻的边互相平行。在平面直角坐标系上，菱形四个角的坐标可以表示为（x1，y）、（x，y1）、（x2，y）和（x，y2）。

二、菱形的性质

菱形作为一种几何图形，具有许多独特的性质。首先，四个顶点的角度均相等，为90度。此外，根据以下定理，我们更可以了解到菱形的许多性质。

1. 菱形的对边平行

对菱形的相对边都是平行的。

2. 菱形的对边相等

对菱形的相对边长都是相等的。

3. 菱形的对角线相等

菱形的两组对角线都是相等的。

4. 菱形的中心对称

菱形的重心、垂心、外心、内心和矩心重合。

三、菱形的判定定理

接下来，我们重点介绍菱形的判定定理。它是指，当一个四边形的四个边相等时，该四边形为菱形。

证明如下：

设ABCD为四边形，且AB=BC=CD=DA=a。

由向量定理得：$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=0$

即$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=0$

$\overrightarrow{AC}$为对角线AC的向量，$\overrightarrow{DB}$为对角线BD的向量。

设菱形的对角线长度分别为d1，d2，则$\overrightarrow{AC}=(\frac{1}{2}d1,0)$，$\overrightarrow{BD}=(0,\frac{1}{2}d2)$

由于重心G为对角线的交点，所以$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BG}$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AG}$

即$(\frac{1}{2}d1,0)=(-\frac{1}{2}a,\frac{\sqrt{4a^2-d_1^2}}{2})+\overrightarrow{BG}$

$(0,\frac{1}{2}d2)=(-\frac{\sqrt{4a^2-d_2^2}}{2},-\frac{1}{2}a)+\overrightarrow{AG}$

由于菱形的对角线相等，即$d_1=d_2=d$，所以$\overrightarrow{BG}=(\frac{1}{2}a,-\frac{\sqrt{4a^2-d^2}}{2})$，$\overrightarrow{AG}=(-\frac{\sqrt{4a^2-d^2}}{2},\frac{1}{2}a)$

G点坐标为$(-\frac{1}{2}\sqrt{2a^2-\frac{d^2}{2}},-\frac{1}{2}\sqrt{2a^2-\frac{d^2}{2}})$

亦即，G点在坐标系中的位置为两组顶点的中心点。

因此，当一个四边形的四条边都相等时，它就是一个菱形。

四、练习题

进行练习是巩固知识的最佳方式。在此给出一些与菱形相关的练习题，供读者参考。

1. 如图，ABCD是一个菱形，E为AE的中点，F为BC的中点，连接AF，DE交于点P，FP和DE的交点为Q，求证：PQ=2DE。

2. 如图，ABCD是一个菱形，O为对角线AC的交点，EF为对角线BD的中垂线，交于点K，IF与CF交于点L，证明：KL=IF。

3. 如图，ABCD为一个菱形，点E和F分别在AC和BD上，且当AE，CF延长线相交于点K后，KF//BE，DE//FL，求证：$\frac{EK}{KD}=\frac{BF}{FA}+1$

以上练习题中，涉及到了菱形的许多性质和判定定理，读者需要仔细分析题目，找到解题的方法和步骤。

结语

菱形是几何学中比较基础的概念之一，也是应用广泛的图形。掌握菱形的性质和判定定理，对于理解更高级的几何学知识会有很大的帮助。希望本文对有需要的读者有所帮助。

本文标签： 菱形的典型例题 初中数学菱形的定义 初三数学菱形的性质与判定