线性规划模型,线性规划模型中增加一个约束条件,可行域的范围一般将

本文分析了线性规划模型及其增加约束条件后可行域的变化范围，着重介绍了线性规划模型中的目标函数、约束条件、可行域以及如何优化模型。通过实例分析，说明如何使用线性规划模型中增加约束条件的方法，得出最优解。

1、线性规划模型

线性规划模型是指一个求解一组线性方程的最大或最小值的数学模型，其中目标函数是一个线性函数，约束条件是一组线性方程。在线性规划模型中，目标函数的最大化或最小化问题可以转化为一组线性方程组的解决问题。

线性规划模型中的目标函数和约束条件都是由变量组成的线性组合，其中每个变量的系数是固定的。线性规划模型在实际应用中非常广泛，如生产计划、运输问题、货车调度等。

线性规划模型的基本形式如下：

$$ \begin{aligned} & \max/min \; c^Tx \\ & s.t. \; Ax \leq b \\ & x \geq 0 \end{aligned} $$

2、约束条件对可行域的影响

线性规划模型中增加一个约束条件，对可行域的范围一般会产生影响。

约束条件的增加，一般是使可行域向更小的空间方向收缩，导致可行域的范围变小。同时，可行域的范围变小，使得最优解的搜索范围也变小，模型的求解难度增大。

如果新的约束条件是线性可行的，那么可行域的范围无法超出原可行域的范围。如果新的约束条件是非线性可行的，那么可行域的范围可能超出原可行域的范围，此时需要重新对模型进行调整。

3、可行域范围的优化

对于线性规划模型的可行域范围，我们可以采用以下方法进行优化：

1. 约束条件的加强：增加约束条件，使得可行域范围更小；

2. 目标函数的优化：优化目标函数，使得可行域范围更小；

3. 解集合并：将不同的约束条件合并，使得可行域范围更小；

4. 双目标函数优化：同时优化多个目标函数，得到可行域交集的范围。

4、实例分析

以一个生产制造的例子，来说明如何使用线性规划模型中增加约束条件的方法，进行优化：

假设一家化工公司有两个产品需要生产，A和B。生产A要求原材料1和2的使用，生产B要求原材料2和3的使用。而原材料1和3的供应是有限的，原材料2的供应是充足的。生产A和B所需要的原材料和利润如下表：

根据上述表格，我们可以得出生产A的约束条件为4x1+2x2≤10000，约束条件2x2+2x3≤15000，生产B的约束条件为2x2+2x3≤12000。其中x1、x2、x3分别为生产的A、B两种产品的数量。

假设公司想要实现的目标是：最大化利润。根据这一目标，我们可以构建如下的线性规划模型：

$$ \begin{aligned} & \max \; 10x_1+12x_2 \\ & s.t. \; 4x_1+2x_2 \leq 10000 \\ & \qquad \;\; 2x_2+2x_3 \leq 15000 \\ & \qquad \;\; 2x_2+2x_3 \leq 12000 \\ & \qquad \;\; x_1, x_2, x_3 \geq 0 \end{aligned} $$

按照上述模型求解，得到最大利润为$120000$元，此时生产量为$x_1=2000$吨，$x_2=4000$吨，$x_3=5000$吨。如果此时公司发现原材料2的供应量并不充足，只有$3500$吨，需要对模型进行调整。

我们可以增加一个新的约束条件，限制原材料2的使用上限。设原材料2的上限为$3500$吨，则新约束条件为$2x_2 \leq 3500$。修改后的线性规划模型如下：

$$ \begin{aligned} & \max \; 10x_1+12x_2 \\ & s.t. \; 4x_1+2x_2 \leq 10000 \\ & \qquad \;\; 2x_2+2x_3 \leq 15000 \\ & \qquad \;\; 2x_2+2x_3 \leq 12000 \\ & \qquad \;\; 2x_2 \leq 3500 \\ & \qquad \;\; x_1, x_2, x_3 \geq 0 \end{aligned} $$

按照上述条件求解，得到最大利润为$105000$元，此时生产量为$x_1=1250$吨，$x_2=1750$吨，$x_3=8750$吨。此时可行域的范围缩小，产量减少。

总结：

本文从线性规划模型的基本形式出发，介绍了约束条件对可行域的影响以及如何优化可行域范围的方法。通过实例分析，说明了如何使用线性规划模型中增加约束条件的方法，得到最优解。

通过本文的介绍，相信读者已经对线性规划模型的应用有了更加深入的理解和认识。

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