线性定常系统,线性定常系统经过非奇异线性变换后,系统的能控性不变

本文将从四个方面对线性定常系统,线性定常系统经过非奇异线性变换后,系统的能控性不变进行详细阐述。首先介绍线性定常系统的基本概念，然后讨论非奇异线性变换的性质及其对系统的影响，接着重点解释能控性的概念和计算方法，最后说明系统的能控性不变性质。

1、线性定常系统的基本概念

线性定常系统是指在系统输入和状态都是连续信号的情况下，系统的输出是输入和状态的线性组合，并且系统的响应不随时间变化而改变。在这种系统中，输入和状态都起到控制系统输出的作用，因此系统的能控性是非常重要的。

一般来说，线性定常系统可以用微分方程的形式来描述。对于一阶系统，微分方程的形式如下：

其中，y(t)是系统的输出，x(t)是系统的输入，a和b是系统的参数。对于二阶及以上的系统，微分方程的形式类似，但是会有更多的参数和状态变量。

2、非奇异线性变换的性质及其对系统的影响

非奇异线性变换指的是一种变换，它能将一组线性方程变换成另一组线性方程，使得变换后保持原方程组的线性特性。这种变换的好处是可以改变方程组的形式，使之更易于求解。

在线性定常系统中，非奇异线性变换可以改变系统的状态方程，但是不能改变系统的输入输出关系。具体来说，如果将状态向量x(t)进行非奇异线性变换，得到新的状态向量x'(t)，那么新的系统状态方程为：

其中，A'是变换后的状态矩阵，B'是变换后的输入矩阵。可以看到，变换后的状态方程和原来的状态方程只是系数有所不同。

因此，非奇异线性变换虽然改变了系统的状态方程，但对系统的能控性没有影响。

3、能控性的概念和计算方法

在线性定常系统中，能控性是指系统能否从一个初始状态x(0)到达任意状态x(T)，其中T是一个有限时间。如果能够到达任意状态，那么就说系统是完全可控的。

计算系统的能控性需要用到系统的状态方程和输入矩阵。具体方法是，先定义一个可控性矩阵P，满足：

其中，AT表示状态矩阵的转置，*表示矩阵的乘积，I表示单位矩阵。如果可控性矩阵的秩等于系统的状态向量维度，那么系统就是完全可控的。

4、系统的能控性不变性质

对于线性定常系统，如果它经过非奇异线性变换，那么系统的能控性不会改变。这是因为非奇异线性变换只是改变了状态方程和输入矩阵的系数，但不会影响系统的可控性矩阵。

因此，如果知道一个线性定常系统是可控的，那么它所做的非奇异线性变换后，仍然是可控的。这个性质对于系统的建模和控制具有重要意义。

总结：本文从线性定常系统的基本概念、非奇异线性变换的性质、能控性的概念和计算方法、系统的能控性不变性质四个方面对线性定常系统,线性定常系统经过非奇异线性变换后,系统的能控性不变进行了详细阐述。可以看到，对于一个系统的控制能力来说，其可控性是非常重要的，这也是本文的一个主要内容。同时，我们还说明了非奇异线性变换对系统的影响，以及系统的能控性不变性质对建模和控制的重要性。

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