正弦函数定义域,正弦函数定义域例题

本文主要介绍正弦函数的定义域和正弦函数定义域例题。首先，我们将介绍什么是正弦函数以及正弦函数的性质；其次，我们将探讨正弦函数的定义域及其相关概念；第三，我们将提供正弦函数定义域的例题，并逐一解析；最后，我们将对全文进行总结归纳，以便读者更好地掌握正弦函数的知识。

1、正弦函数的基本性质

正弦函数是一种周期函数，其周期为2π，因此任意正弦函数的图像都具有沿水平轴移动2π份图像的对称性。具体来说，对于任意实数x，有sin(x+2π)=sinx。

正弦函数还是一个奇函数，即对于任意实数x，有sin(-x)=-sinx。

此外，正弦函数定义域内的取值范围为[-1,1]，即sinx的值必须在-1和1之间。

2、正弦函数的定义域及相关概念

正弦函数的定义域是数学上的一个重要概念，它表示该函数能够输入的自变量的取值范围。对于正弦函数，其定义域是所有实数。

需要注意的是，有些函数的定义域可能会受到一些限制。例如，有些函数的分母不能为0，因此在定义域中必须排除这些使得分母等于0的自变量的取值。在本文所讨论的正弦函数中，没有这样的限制。

3、正弦函数定义域的例题及解析

例1：求解sinx=0.5的所有解。

解：由正弦函数的定义可知，它的取值范围在[-1,1]之间，因此存在实数x，使得sinx=0.5成立的充要条件是：

① sinx=1/2时，x在第1象限或第2象限。

② sinx=-1/2时，x在第4象限或第3象限。

因此，我们可以得到以下四个解：

x=π/6 + 2kπ，k∈Z

x=5π/6 + 2kπ，k∈Z

x=7π/6 + 2kπ，k∈Z

x=11π/6 + 2kπ，k∈Z

其中k∈Z表示k是任意整数。

例2：求解sin2x=cosx。

解：由于正弦函数和余弦函数都是周期为2π的周期函数，因此对于任意实数x，都有sin(x+2kπ)=sinx和cos(x+2kπ)=cosx成立。因此，我们可以将cosx转化为sin函数的形式。具体来说：

cosx=cos(x+2π/4)=sin(π/2 - (x+2π/4))=sin(3π/4 - x)

将cosx代入sin2x=cosx中，得到：

sin2x=sin(3π/4 - x)

然后将sin2x转化为2sinx*cosx的形式，得到：

2sinx*cosx=sin(3π/4 - x)

将右边的sin(3π/4 - x)转化为sinx和cosx的形式，得到：

2sinx*cosx=sinx*cos3x - cosx*sin3x

继续转化

2sinx*cosx=(2cos^2x - 1)sinx - 2sin^3x

将等式两侧化简

2cos^2x*sinx=2sin^3x + sinx - 2sinx*cosx

2cos^2x*sinx=sinx(2sin^2x - 2cosx + 1)

因为sinx不为0，所以上式可以转化为

2cos^2x=2sin^2x - 2cosx + 1

化简得

4cos^2x - 4sin^2x + 8cosx - 3=0

将左边都写成cos函数的形式，得到：

4cos^2x - 4(1-cos^2x) + 8cosx - 3=0

然后继续化简：

8cos^2x + 8cosx - 7=0

利用求根公式求解得：

cosx=(-1±√3)/2或者cosx=7/8

再将cosx的值带入sin2x=cosx中，得到：

sin2x=√3/2或者sin2x=3/8

因此，我们得到以下四个解：

x=π/3 + 2kπ或者x=5π/3 + 2kπ

x=arcsin(√3/2)/2 + kπ或者x=π - arcsin(√3/2)/2 + kπ

其中k∈Z表示k是任意整数。

4、总结归纳

正弦函数是一种周期为2π的奇函数，其定义域为所有实数。在解决正弦函数定义域的例题时，我们需要注意正弦函数的周期性、对称性以及取值范围的限制。

通过本文的介绍，读者可以更好地掌握正弦函数的基本性质和定义域，同时也可以更好地理解和解决正弦函数定义域的例题。

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